ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

К оглавлению

I. Теорема ЛАПЛАСА

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

 (*)

(разложение по элементам i-й строки);

 (**)

(разложение по элементам j-го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

 

 

 

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка

 

используя его разложение по элементам первой строки.

Решение. Находим алгебраические дополнения элементов первой строки:

Теперь по теореме Лапласа найдем определитель, используя формулу (*)

Пример 2. Вычислить определитель предыдущего примера, используя его разложение по элементам второго столбца.

Решение. Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:

Теперь по формуле (**) найдем определитель матрицы

Значения первого и второго примеров совпали, что говорит о том, что можно выбирать разложение по любой строке или любому столбцу.

Пример 3. Вычислить определитель четвертого порядка треугольной матрицы:

 

 

Решение: Выполним разложение по первому столбцу:

 

 

 

 

 

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению определителя меньшего порядка, то есть (n-1)-го порядка.

II. Примеры для самостоятельного решения

Пример 4. Вычислить шесть определителей четвертого порядка:

 

 

 

 

К оглавлению